2026年1月15日

f  ( x , y ) = g ( x ,y )（＝K）　の解の有無を考えるに当たり、ｆとｇがともにｘ
についてはm次、yについてはｎ次の範囲に含まれている最小のｍとｎを考えるだけで十
分なのでｍ、ｎは固定して考えれば十分。Kは任意の自然数でF(ｐ、ｑ）＝Kを満たすF(
 x , y )の集合を( K )( p , q )で表すとき、f ( x , y ) ,g ( x , y )がともにその
集合に含まれるか否かを判定する必要がある。従って、取り敢えず、（ｐ、ｑ、K）   
の３つ組について３つの文字を固定したとき、大内基底の（ｍ＋1）（ｎ＋1）−１（＝
Mとおく）個のパラメータを変数として、例えば  f  (  x  ,  y  )の係数比較でM個の
未知数の値が求まれば f ( p, q ) = Kが言えるはずなので、問題はｐ、ｑ、K　の自然
数の任意の対に対して f ( p, q ) = g ( p , q ) = Kがなりたつような（p、q、K )が
存在するかが判定出来れば、そのような自然数対が１つでもあれば     f ( x , y ) =
 g ( x , y )の自然数解は存在する。１つも無ければ存在しない、無数のKに対してあ
れば解は無限個と言える。