(通信用メモ)

音階の問題


1オクターヴ＝12半音の範囲に7個の音高を選び音階をつくる. その7個のpitch(音高)の集合を,  {p_0,  p_1,  p_2,  p_3,  p_4,  p_5,  p_6} とし，それらの値は mod12 で等しいものは同一視する. たとえば，p_0=7 をソの音とすると，19もソである．この7個のpitchの集合を音階とみなすので，p_0, p_1 ....... の順に音高が上がってゆく必要はない．


さて，この音階=音高集合の要素のひとつだけを，半音上げるか下げるかする.  すなわち元のpitchiを，+1か-1か変化させる．そうしても，音高集合の適当な項から音高を追うと，元の音階と上下する形がまったく変わらないような音階がある. たとえば，p_0 だけ1半音上げる変換後の音階は {p_0+1, p_1, p_2,  p_3,  p_4,  p_5, p_6}だが，これをp_4 から音高を追うと{p_4,  p_5, p_6, p_0+1, p_1, p_2,  p_3} で，p_5-p_4=p_1-p_0 ........ となるような音階がある. 


このような条件をみたす音高集合をもとめると，よく知られたドレミファソラシ{0,  2,  4,  5,  7,  9,  11}になる．
このような音高集合はドレミファソラシだけであり他にないことを示す，という問題．