"またりさま"とは, 三輪眞弘氏作曲の"伝統芸能"である。それがどんなものかは, このページでも最小限は述べるが, くわしくは,三輪氏によるまたりさまや逆シミュレーション音楽をごらんいただきたい。
以下のページは, 「またりさまの数学的構造」をあつかう。
- 数の世界のまたりさま. 入門 このページすぐ下↓ できるだけ少ない数学知識を前提にして, 8人またりさまに現れる美しい摂理を紹介する。
- またりさまの数学 PDFファイル。(PDFファイルを見るには Adobe Reader(旧名 Acrobat Reader)のダウンロード)
任意の人数のまたりさま解明へ一歩踏み出した数学理論。これは,もともと, 数学がわかる友人に意見を聞くために書いたので, 一般読者を考えていない。いつか, もっとやさしく書きたい。
地上で人間が演じるまたりさまと並行して, 天上では, またりの神々が"神遊びのまたりさま"に興じている。我々人間も, 時には, 神々の遊びの放つ香りに感じ入ってしまうことはないだろうか ? それは数学を通しても起こりうることだろう。
H
A G
B
F
C E
D
|
8人が輪になり, 各人が隣の人の背中を見る形になり, 2種の音 --- 鈴の音とカスタネットの音 --- のどちらかを, これから述べる簡単な規則にしたがって隣の人に伝えていく。以下では, 鈴の音を 0, カスタネットの音を 1 としよう。はじめ 8人それぞれ 0 か 1 のいずれかの状態(鈴状態とカスタネット状態)を決めておく。
たとえば,
| 人 | A | B | C | D | E | F | G | H |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 状態 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
(自分Aの状態 0)＋(ひとつ前の人Hの状態 1)の答え 1
の状態に変わり, その 1 を表すカスタネットの音で, 次の人Bに伝える。
ただし, 以下での 0と1のたしざんは, 次のように決める。
| 0+0=0 | |
| 0+1=1 | |
| 1+0=1 | |
| 1+1=0 | ←これだけふつうとちがう |
次に, Bは
(自分Bの状態 0)＋(ひとつ前の人Aの状態 1)=(新しいBの状態 1)
で, 1 を次の人Cに伝える。以下同様のくりかえし。先の始まり方では次のようになってゆく。
| 人 | A | B | C | D | E | F | G | H |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| はじめの状態 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 以降の状態 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| ･･･以下つづく | ||||||||
初めの8人の状態(以下「初期状態」という)が決まると, その後の音列は一通りに決まってしまう。
たとえば, 初期状態が 0 1 1 1 1 1 1 1 の場合, つづく音列は下の表のようになる。
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | |
| ････････ | ||||||||
この 0 と 1 の数列(音列)を見ると, 上から8行目の右端, はじめから数えて 64音目の 0 から(灰バックの部分)同じ並び方(パタン)を繰り返しているのがわかる。つまり, 音列パタンには周期があり, この場合, 周期は 64-1=63 である。
また, この音列表の途中, たとえば 2行目の2番目からの 8個音列 0 1 0 1 0 1 0 1 を初期状態として演奏をはじめると, その続きは 1 0 0 1 1 0 0 1････ となり, 8行目の 1 0 0 0 0 0 0 のあと, 1行目の 0 1 1 1 1 1 1 1 にもどってゆくと思ってよい。初期状態の8個音列をどこにしても, この音列表の1周期(63音)分をクルクルまわりつづけることになる。
では, この音列表で見つからないような 8個音列を初期状態にすると, どうなるか ? たとえば 0 0 0 1 0 0 1 0 を初期状態にすると, 次の音列表になる。
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| ･････(周期63) | ||||||||
これにも現れない 8個音列を初期状態にして音列表を作り････ ということをくりかえすと, 結局, さらに 4種の音列が見つかる。
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | |
| ･････(周期63) | ||||||||
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| ･････(周期63) | ||||||||
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| ･････(周期3) | ||||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| ･････(周期1) | ||||||||
以上, 6種類の音列(数列)のなかに, どんな 8個音列も見つかり, それを初期状態とする音列がわかる。
ある1つの音列にある8個音列で演奏をはじめると, その音列内の音列を繰り返しつづけるだけで, 決して他の音列に移ったりしない。(誰かがミスしないかぎり)
ここで, 謎。なぜ, このような, 音列の"分離"が生じるのか ?
(これに対して論理的な説明はあるだろうが, 論理的な説明では解消しきれない"謎感覚"が私には残る。)
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| ････････ | ||||||||
音列のひとつ対称形姉(周期63)には次のような"摂理"が発見される。
【対称性】ひとりめの人が出す音だけを 1行目から縦方向に追うと, 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 ････ であるが, この音列(数列)は, 全員による初めからの音列
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 0 1 0 ････
とまったく同じである !
同様に, 2人目の人の音列 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 ････ は, 全員の 2行目からの音列と同じ。3人目以降についても見て確かめてほしい。つまり, 各人の音列は全体の音列と同じである。
この性質から, 音列表の1行目左端の 0 からななめ右下方向につづく0の列を軸に, 0 と 1 が対称な位置に現れる結果となる。
【2倍ビット音の一致】音列表のはじめの音(数) 0 を 「0番」として, 次々に 1番, 2番と番号をつけておく。
1番の音 1 と 2番の音 1 は等しい。
2番の音 1 と 4番の音 1 は等しい。
3番の音 1 と 6番の音 1 は等しい。
････
････
9番の音 0 と 18番の音 0 は等しい。
10番の音 1 と 20番の音 1 は等しい。
11番の音 0 と 22番の音 0 は等しい。
････
････
このように, ある番号の音と, その2倍の番号の音は必ず等しい。 自分の目で確かめていただきたい。
この性質は, 対称形姉の音列の他の音を 0番として調べると成立しない。この音列を 0 1 1 1 1 1 1 1 からはじまる形で書いたのは, この性質を見やすくするためである。
理論的には, 【対称性】と【2倍ビット音の一致】の性質から周期が63であることが導かれるのだが, ここでは証明には立ち入らない。
この他の音列の性質も記す。
対称形妹, 星合の音列, 空の音列。これらはいずれも【対称性】【2倍ビット音の一致】の性質あり。前に示した音列表で確認されたい。
残る 2種の音列, 双子兄, 双子弟はともに【対称性】も【2倍ビット一致】もない。そのかわり双子ならではの性質がある。 1周期(63ビット)分だけ, 気分を変えて 0 を■, 1 を■ で 表した。
兄の1行目の音列 ■ ■ ■ ■ ■ ■■ ■ は, 弟の 1人目の音列(1周期分) ■ ■ ■ ■ ■ ■■ ■ と等しい。
兄の2行目の音列 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ は, 弟の 2人目の音列(1周期分) ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ と等しい。
･･････
逆に
兄の1人目の音列(1周期分) ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ は, 弟の 1行目の音列 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ と等しい。
･･････
まとめていうと, 1周期分について, 左上から右下の対角線を折り目にして, 数の配置を折り返すように移すと, 兄と弟が入れ替わる.